Vibration Analysis of Thick Functionally Graded Beam under Axial Load Based on Two-Dimensional Elasticity Theory and Generalized Differential Quadrature

Document Type : Persian



In this paper, vibration analysis of thick functionally graded beam with simply supported boundary condition under constant axial load is studied. The beam has a uniform cross-sectional area and the mechanical properties of the fungtionally graded beam are assumed to be vary through the thickness of the beam. Fundamental relations, the equilibrium and stability equations based on the displacement components are derived using the two-dimensional elasticity theory and hamilton's principle. Generalized differential quadrature (GDQ) method is used to solve the system of coupled differential equations at equilibrium and moving condition. In this paper, the influences of axial loads, dimensionless geometric parameter, functionally graded index and ratio of thickness to length on the vibration of beam is presented. To study the accuracy of the present analysis, a compression is carried out between the present results and published results and also results obtained from ABAQUSE program. Results showed that the generalized differential quadrature method is quite good. Based on the results obtained by increasing the volume fraction of fibers in the functional graded beam, the natural frequency of the beam increases and for high volume fraction, it is not possible to see much change in the natural frequency. Also, by increasing the ratio of thickness to length in the absence of the critical load the natural frequency decreased.


[1] ‌Rao S. S., Sunar M., Piezoelectricity and its use in disturbance sensing and control of flexible structures: A survey, Appl. Mech. Rev, Vol. 47(4), 1994, pp. 113-123.
[2] ‌Zhong Z., Shang E. T., Three-dimensional exact analysis of a simply supported functionally gradient piezoelectric plate, International Journal of Solids and Structures, Vol. 4, (20), 2003, pp. 5335- 5352.
[3] ‌Shavezipur M., Hashemi S.M., Free vibration of triply coupled centrifugally stiffened nonuniform beams, using a refined dynamic finite element method, Aerospace Science and Technology, Vol. 13(1), 2009, pp. 59-70.
[4] Jun Li., Chaoxing Shi., Xiangshao K., ‌Xiaobin Li., Weiguo Wu., Free vibration of axially loaded composite beams with general boundary conditions using hyperbolic shear deformation theory, Composite Structures, Vol. 97, 2013, pp.1-14.
[5] ‌Ke. Liao-Liang, Jie. Yang, S. Kitipornchai, Nonlinear free vibration of functionally graded carbon nanotube-reinforced composite beams, Composite Structures, Vol. 92(3), 2010, pp .676-683.
[6] Suddounga K., Charoensuka J., Vibration response of stepped FGM beams with elastically end constraints using differential transformation method, Vol. 77, 2014, pp. 20–28.
[7] ‌Aminbaghai M., Murín J.,  Kutiš V., ‌Modal analysis of the FGM-beams with continuous transversal symmetric and longitudinal variation of material properties with effect of large axial force, Engineering Structures, Vol. 34, 2012, pp. 314–329.
[8] ‌ Pradhan S.C., Murmu T., Thermo-mechanical vibration of FGM sandwich beam under variable elastic foundations using differential quadrature method, Journal of Sound and Vibration. Vol. 321(1–2), 2009, pp. 342–362.
]9[ ‌سوهانی، فاطمه، ایپکچی، حمیدرضا، بررسی ارتعاشات آزاد و کمانش تیر با خیز نسبتاً زیاد به کمک تئوری تغییر شکل برشی مرتبة اوّل، مهندسی مکانیک مدرس، شماره 13، 1392، صفحه 14-1.
]10[ آزادی، محمد.، زاهدی، فرشاد.، دمیرچلی مهرنوش، تحلیل ارتعاشات آزاد تیر FGM به روش اجزاء محدود با درنظر گرفتن وابستگی خواص مواد به دما، ششمین کنفرانس سالانه دانشجویی مهندسی مکانیک، تهران، دانشگاه صنعتی امیرکبیر،1387.
]11[ رجبی، کاوه.، حسینی هاشمی، شاهرخ.، کارگر نوین، محمدحسن.، ‌احمدی، بهمن.، تحلیل دینامیکی تیر تیموشنکو از جنس ماده مدرج تابعی بر روی بستر الاستیک تحت تاثیر حرکت بار متمرکز متحرک نوسانی، سومین کنفرانس بین المللی آکوستیک و ارتعاشات، تهران، انجمن آکوستیک و ارتعاشات ایران، 1392.
]12[ رحیمی، غلامحسین.، طورانی، حسین.، گازر، محمد سجاد.، بررسی ارتعاشات تیر هدفمند دو جهته مقید در لایه­های پیزوالکتریک روی بستر الاستیک با استفاده از دیفرانسیل کوادریچر، مهندسی مکانیک مدرس، شماره 9، 1392، صفحه 68-58.
]13[ ستوده، علیرضا.، ‌قربانزاده، مرتضی.، حل دوبعدی ارتعاشات آزاد تیر ساندویچی هدفمند به کمکتئوری لایه ای و روشدیفرانسیل کوادریچر، هجدهمین کنفرانس سالانه مهندسی مکانیک، تهران، دانشکده مهندسی مکانیک دانشگاه شریف، 1389.
[14] Simsek M., Kocatürk T., Free and forced vibration of a functionally graded beam subjected to a concentrated moving harmonic load, Composite Structures, Vol. 90 (4), 2009, ‌pp. 465–473.
]15[ رفیعی پور، حسین.، لطف آور، امیر.، شلمزاری صغری، حمزه.، تحلیل ارتعاشات غیرخطی تیر هدفمند روی بستر الاستیک وینکلر-پسترناک تحت بارهای مکانیکی و حرارتی با استفاده از روش تحلیلی هموتوپی، ، مهندسی مکانیک مدرس، شماره 12، 1391، صفحه 101-87.
[16] Yas M.H., Sobhani Aragh B., Free vibration analysis of continuous grading fiber reinforced plates on elastic foundation, International Journal of Engineering Science, Vol. 48 (12), ‌2010, pp. 1881-1895.
[17] Malekzadeh P., Karami G., A mixed differential quadrature and finite element free vibration and buckling analysis of thick beams
on two-parameter elastic foundations, Applied Mathematical Modelling, Vol. 32 , 2008, pp .1381–1394.
[18] Reddy J. N., Mechanics of Laminated Composite Plates and Shells: Theory and Analysis, Second Edition, CRC Press, 2004, pp. 38-57.
[19] Bert C.W., Malik M., Differential quadrature method in computational mechanics, A review. Applied Mechanical Review, Vol. 49 (1), 1996, ‌pp. 1–27.
[20] Malekzadeh P., Three-dimensional free vibration analysis of thick functionally graded plates on elastic foundations, Composite Structures, Vol. 89 (3), 2009, pp. ‌367–373.
[21] Matsunaga H., Vibration and buckling of deep beam-columns on two-parameter elastic foundations, Journal of Sound and Vibration, Vol. 228(48), 1999, pp. 359–376